Abrimos el chiringuito.

Abrimos un chiringuito en medio del desierto.

Puede parecer que Internet es una animada calle comercial de Las Vegas o Joncón, pero no. Este blog, como cualquier otro, más que a una tienda con consumo insostenible de luz de neón en medio de una comunicativa y bien comunicada comunidad, se parece a un chiringuito de playa perdido en el desierto.

La única manera de mantener tal negocio es ofrecer bebida fresca. Se intentará. Renuncio a contentar a todo el mundo, a callarme demasiado lo que pienso, y a afinar (tarea inútil) como Plácido Domingo.

Confío en que el nombre del blog no ofenda a otros amigos que en igualdad de condiciones podrían reclamarlo para sí. Juan Pablo, Jorge Pardo, Jotapés en general que dispersos dais valor al mundo como los boletus edulis al pinar de mi pueblo, cordialmente os digo ¡el último no pilla cacho!

Prometo hablar de lo que me pase por la cabeza, que normalmente es papiroflexia.

Concluída esta declaración de intenciones, ¡bienvenidos!

Anillo articulado de seis tetraedros.

Kaleidociclos, flexaedros, anillos articulados de poliedros, llámense como se llamen estos bichos tienen un algo hipnótico.

Para verlo en acción, pincha aquí. En el mismo enlace puedes ver el desarrollo del poliedro, y comprobar que rellena el plano sin que sobre ni falte papel. Todos los vértices del poliedro son iguales y los ángulos de las seis caras que confluyen en cada vértice suman 360°. Esta propiedad es muy poco común, y muy interesante desde el punto de vista del papiroflecta: al no sobrar ni faltar papel, todos los vértices pueden construirse en puntos interiores de la hoja sin tener que esconder papel. Fue precisamente esta característica la que motivó mi interés por este poliedro.

Hay en la red muchos patrones para construir uno de estos anillos de seis tetraedros con tijeras y pegamento. Creo que si se justifica el empleo de tijeras, pegamento, y papeles decorados en un modelo, éste es el modelo.

Pero ya que nos gusta complicarnos la vida, podemos fabricar uno sólo plegando.

David Mitchell (cómo no) tiene una versión que parece estar realizada con seis módulos. Es interesante el de Steve Biddle, que se pliega a partir de un A4. Desconozco otros modelos, aunque supongo que otros creadores se han dejado seducir por este poliedro y han inventado sus propias versiones.

Los tetraedros que lo componen no son regulares. Sus caras no son triángulos equiláteros, sino triángulos isósceles cuya base es igual a su altura, tomando como base el lado desigual. Para una justificación matemática, así como para información amplia y de calidad sobre los flexaedros, éste es un buen enlace.

Jugueteando con uno en las manos, caí en la cuenta de que una tira de las proporciones adecuadas y convenientemente plegada cubriría completamente la superficie del poliedro sin que faltara ni sobrara papel. La tira se enrolla como un muelle, avanza por el anillo, y termina de cubrirlo tras dar dos vueltas, volviendo al principio, como una banda de moebius de no sé cuantas vueltas, y como las godésicas de los toros foliados de mi querido amigo Jose Ignacio Royo

Del modo descrito se completa el poliedro, pero el modelo no queda trabado. Por otra parte, la tira puede retorcerse a lo largo del anillo a derechas...

... o a izquierdas:

Cubriendo el modelo con dos tiras, una a derechas y la otra a izquierdas, ambas pueden entrelazarse quedando trabado el conjunto:

Las zonas grises representan el papel extra necesario para trabar los extremos, y ha de observarse que las dos tiras no son iguales: una es la imagen en el espejo de la otra. El cálculo de las inclinaciones precisas de los pliegues lleva a un interesante resultado, que el lector puede comprobar si le entretienen los problemas de triángulos.

¡Sólo aparecen números enteros sencillos! ¿Quien iba a pensar que el viejo amigo de los profes de matemáticas, el triángulo rectángulo "3, 4, 5" aparecería aquí?
Una secuencia de plegado de las tiras podría ser la siguiente. Una de ellas se pliega así, y la otra mirando las instrucciones en un espejo, o imaginándolo.

Desplegamos todo y....

El trabado de las tiras es un auténtico rompecabezas. Ignoro si hay alguna forma sencilla de hacerlo. Después de un número considerable de ensayos infructuosos, conseguí trabar el modelo enrollando las dos tiras simultáneamente, llevando la cuenta de que en cada "bisagra" han de cruzarse, y recordando que cada tira da dos vueltas completas.

Encontré con el modelo terminado que el juego de colores es el siguiente: la cara de arriba y la de abajo son del mismo color (de la misma tira), y las caras laterales (las del contorno exterior y las dobladas sobre sí mismas) son del otro color. Ambos colores se van intercambiando al articular el poliedro.

Las curiosas proporciones de las tiras, con sus números enteros sencillos, me hizo preguntarme si el fenómero no sería aplicable al sempiterno problema de las divisiones de los lados del cuadrados, y encontré resultados interesantes:

Ya que la línea que une el vértice superior izquierdo con el lado medio no ha de ser plegada (se lleva dicho vértice a coincidir con el punto medio del lado opuesto, directamente), he aquí una forma de construir las divisiones impares en octavos con sólo dos pliegues (el necesario para marcar el punto medio y el explicado anteriormente).
¿Qué obtendremos si, en lugar del punto medio, tomamos un punto a un cuarto de la longitud del lado?

¿Y si en lugar del vértice tomamos el punto medio del lado izquierdo?

¡Casi todas las divisiones impares en treintaydosavos, con sólo tres o cuatro pliegues!
Resultados sugerentes, ¿verdad? ¿Cómo sacar las divisiones impares que faltan? ¿Y si divido en tercios? ¿De qué ley general es éste un caso particular? ¿Es un caso interesante aislado o hay otros?

Estas preguntas me estimulan a hacerme la comedura de tarro de rigor, para otra entrada del blog, tal vez.....